Число - абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Числа возникли еще в первобытном обществе в связи с потребностью людей считать предметы. С течением времени по мере развития науки число превратилось в важнейшее математическое понятие.
Для решения задач и доказательства различных теорем необходимо понимать, какие бывают виды чисел. Основные виды чисел включают в себя: натуральные числа, целые числа, рациональные числа, действительные числа.
Натуральные числа – это числа, получаемые при естественном счёте предметов, а вернее при их нумерации («первый», «второй», «третий»...). Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой N (можно запомнить, опираясь на английское слово natural). Можно сказать, что N ={1,2,3,....}
Целые числа – это числа из множества {0, 1, -1, 2, -2, ....}. Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, отрицательные целые числа (противоположные натуральным числам) и число 0 (нуль). Целые числа обозначаются латинской буквой Z . Можно сказать, чтоZ ={1,2,3,....}.
Рациональные числа – это числа, представимые в виде дроби, где m - целое число, а n - натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква Q . Все натуральные и целые числа – рациональные.
Действительные (вещественные) числа – это числа, которое применяются для измерения непрерывных величин. Множество действительных чисел обозначается латинской буквой R. Действительные числа включают в себя рациональные числа и иррациональные числа. Иррациональные числа – это числа, которые получаются в результате выполнения различных операций с рациональными числами (например, извлечение корня, вычисление логарифмов), но при этом не являются рациональными.
1. Системы счисления.
Система счисления – способ наименования и записи чисел. В зависимости от способа изображения чисел разделяется на позиционные-десятичная и непозиционные-римская.
В ПК используют 2ичную, 8ричную и 16ричную системы счисления.
Отличия:запись числа в 16ной системе счисленич по сравнению с другой записью значительно короче, т.е. требует меньшего количества разрядности.
В позиционной системе счисления каждая цифра сохраняет свое постоянное значение независимо от занимаемой позиции в числе. В позиционной системе счисления каждая цифра определяет не только свое значение, но зависит от того положения, которое она занимает в числе. Каждая система счисления характеризуется основанием. Основание- это количество различных цифр, которые используются для записи чисел в данной системе счисления. Основание показывает во сколько раз изменяется значение одной и той же цифры при переходе на соседнюю позицию. В компьютере используется 2-система счисления. Основанием системы может быть любое число. Арифметические дей-ия над числами в любой позиции выполняются по правилам аналогичным 10 системе счисления. Для 2 системы счисления используется двоичная арифметика, которая реализуется в компьютере для выполнения арифметических вычислений.
Сложение двоичных чисел:0+0=1;0+1=1;1+0=1;1+1=10
Вычитание:0-0=0;1-0=1;1-1=0;10-1=1
Умножение:0*0=0;0*1=0;1*0=0;1*1=1
В компьютере широко применяется 8 система счисления и 16 система счисления. Они используются для сокращения записи двоичных чисел
2. Понятие множества.
Понятие «множество» является фундаментальным понятием математики и не имеет определения. Природа порождения любого множества разнообразна, в частности, окружающие предметы, живая природа и др.
Определение 1 : Объекты, из которых образовано множество, называются элементами данного множества . Для обозначения множества используют заглавные буквы латинского алфавита: например X, Y, Z, а в фигурных скобках через запятую выписывают его элементы строчными буквами, например: {x,y,z}.
Пример обозначения множества и его элементов:
X = {x 1 , x 2 ,…, x n } – множество, состоящее из n элементов. Если элемент x принадлежит множеству X, то следует записать: xÎX, иначе элемент x не принадлежит множеству X, что записывается: xÏX. Элементами абстрактного множества могут быть, например, числа, функции, буквы, фигуры и т.д. В математике в любом разделе используется понятие множества. В частности, можно привести некоторые конкретные множества вещественных чисел. Множество вещественных чисел х, удовлетворяющих неравенствам:
· а ≤ x ≤ b называется сегментом и обозначается ;
· а ≤ x < b или а < x ≤ b называется полусегментом и обозначается: ;
· а < x < b называется интервалом и обозначается (a,b).
Определение 2 : Множество, имеющее конечное число элементов, называется конечным. Пример. X = {x 1 , x 2 , x 3 }.
Определение 3 : Множество называется бесконечным , если оно состоит из бесконечного числа элементов. Например, множество всех вещественных чисел бесконечно. Пример записи. X = {x 1 , x 2 , ...}.
Определение 4 : Множество, в котором нет ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают символом Æ.
Характеристикой множества является понятие мощности. Мощность – это количество его элементов. Множество Y={y 1 , y 2 ,...} имеет ту же мощность, что и множество X={x 1 , x 2 ,...}, если существует взаимно однозначное соответствие y= f(x) между элементами этих множеств. Такие множества имеют одинаковую мощность или равномощны. Пустое множество имеет нулевую мощность.
3. Способы задания множеств.
Считают, что множество задано своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать: принадлежит он этому множеству или не принадлежит. Задавать множество можно следующими способами:
1) Если множество конечно, то его можно задать перечислением всех его элементов. Так, если множество А состоит из элементов 2, 5, 7, 12 , то пишут А = {2, 5, 7, 12}. Количество элементовмножества А равно 4 , пишут n(А) = 4.
Но если множество бесконечно, то его элементы нельзя перечислить. Трудно задать множество перечислением и конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множества.
2) Множество можно задать указанием характеристического свойства его элементов. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему. Рассмотрим, например, множество Х двузначных чисел: свойство, которым обладает каждый элемент данного множества, – «быть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает возможность решать о том, принадлежит какой-либо объект множеству Х или не принадлежит. Например, число 45 содержится в данном множестве, т.к. оно двузначное, а число 4 множеству Х не принадлежит, т.к. оно однозначное и не является двузначным. Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными сторонами и как множество ромбов с прямым углом.
В тех случаях, когда характеристическое свойство элементов множества можно представить в символической форме, возможна соответствующая запись. Если множество В состоит из всех натуральных чисел, меньших 10, то пишут В = {x N| x <10}.
Второй способ – более общий и позволяет задавать как конечные, так и бесконечные множества.
4. Числовые множества.
Числовое - множество, элементами которых являются числа. Числовые множества задаются на оси действительных чисел R. На этой оси выбирают масштаб и указывают начало отсчета и направление. Наиболее распространенные числовые множества:
· - множество натуральных чисел;
· - множество целых чисел;
· - множество рациональных или дробных чисел;
· - множество действительных чисел.
5. Мощность множества. Приведите примеры конечных и бесконечных множеств.
Множества называются равномощными, эквивалентными, если между ними есть взаимно - однозначное или одно-однозначное соответствие, то есть такое попарное соответствие. когда каждому элементу одного множества сопоставляется один-единственный элемент другого множества и наоборот, при этом различным элементам одного множества сопоставляются различные элементы другого.
Например, возьмём группу студентов из тридцати человек и выдадим экзаменационные билеты по одному билету каждому студенту из стопки, содержащей тридцать билетов, такое попарное соответствие из 30 студентов и 30 билетов будет одно-однозначным.
Два множества, равномощные с одним и тем же третьим множеством, равномощны. Если множества M и N равномощны, то и множества всех подмножеств каждого из этих множеств M и N , также равномощны.
Под подмножеством данного множества понимается такое множество, каждый элемент которого является элементом данного множества. Так множество легковых автомобилей и множество грузовых автомобилей будут подмножествами множества автомобилей.
Мощность множества действительных чисел, называют мощностью континуума и обозначают буквой «алеф» א . Наименьшей бесконечной областью является мощность множества натуральных чисел. Мощность множества всех натуральных чисел принято обозначать (алеф-нуль) .
Часто мощности называют кардинальными числами. Это понятие введено немецким математиком Г. Кантором. Если множества обозначают символическими буквами M, N , то кардинальные числа обозначают через m, n . Г.Кантор доказал, что множество всех подмножеств данного множества М имеет мощность большую, чем само множество М.
Множество, равномощное множеству всех натуральных чисел, называется счетным множеством.
6. Подмножества указанного множества.
Если из нашего множества выбрать несколько элементов и сгруппировать их отдельно – то это будет подмножество нашего множества. Комбинаций, из которых можно получить подмножество много, количество комбинаций лишь зависит от количества элементов в исходном множестве.
Пусть у нас есть два множества А и Б. Если каждый элемент множества Б является элементом множества А, то множество Б называется подмножеством А. Обозначается: Б ⊂ А. Пример.
Сколько существует подмножеств множества А=1;2;3.
Решение. Подмножества состоя из элементов нашего множества. Тогда у нас существует 4 варианта по количеству элементов в подмножестве:
Подмножество может состоять из 1 элемента, из 2, 3 элементов и может быть пустым. Давайте последовательно запишем наши элементы.
Подмножество из 1 элемента: 1,2,3
Подмножество из 2 элементов:1,2,1,3,2,3.
Подмножество из 3 элементов:1;2;3
Не забудем, что пустое множество так же является подмножеством нашего множества. Тогда получаем, что у нас есть 3+3+1+1=8 подмножеств.
7. Операции над множествами.
Над множествами можно выполнять определенные операции, подобные в некотором отношении операциям над действительными числами в алгебре. Поэтому можно говорить об алгебре множеств.
Объединением (соединением) множеств А и В называется множество (символически оно обозначается через ), состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В . В форме от х объединение множеств записывается так
Запись читается: «объединение А и В » или «А , объединенное с В ».
Операции над множествами наглядно изображают графически с помощью кругов Эйлера (иногда используют термин «диаграммы Венна-Эйлера»). Если все элементы множества А будут сосредоточены в пределах круга А , а элементы множества В – в пределах круга В , тооперацию объединения с помощью кругов Эйлера можно представить в следующем виде
Пример 1 . Объединением множества А = {0, 2, 4, 6, 8} четных цифр и множества В = {1, 3, 5, 7, 9} нечетных цифр является множество = ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} всех цифр десятичной системы счисления.
8. Графическое изображение множеств. Диаграммы Эйлера-Венна.
Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U , а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.
Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):
Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):
Определение. Симметрической разностью
множеств
А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):
Декартовым (или прямым) произведением множеств A и B называется такое результирующее множество пар вида (x ,y ) , построенных таким образом, что первый элемент из множества A , а второй элемент пары - из множества B . Общепринятое обозначение:
A ×B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈B }
Произведения трёх и более множеств можно построить следующим образом:
A ×B ×C ={(x ,y ,z )|x ∈A ,y ∈B ,z ∈C }
Произведения вида A ×A ,A ×A ×A ,A ×A ×A ×A и т.д. принято записывать в виде степени: A 2 ,A 3 ,A 4 (основание степени - множество-множитель, показатель - количество произведений). Читают такую запись как «декартов квадрат» (куб и т.д.). Существуют и другие варианты чтения для основных множеств. К примеру, R n принято читать как «эр энное».
Свойства
Рассмотрим несколько свойств декартова произведения:
1. Если A ,B - конечные множества, то A ×B - конечное. И наоборот, если одно из множеств-сомножителей бесконечное, то и результат их произведения - бесконечное множество.
2. Количество элементов в декартовом произведении равно произведению чисел элементов множеств-сомножителей (в случае их конечности, разумеется): |A ×B |=|A |⋅|B | .
3. A np ≠(A n ) p - в первом случае целесообразно рассмотреть результат декартова произведения как матрицу размеров 1×np , во втором же - как матрицу размеров n ×p .
4. Коммутативный закон не выполняется, т.к. пары элементов результата декартова произведения упорядочены: A ×B ≠B ×A .
5. Ассоциативный закон не выполняется: (A ×B )×C ≠A ×(B ×C ) .
6. Имеет место дистрибутивность относительно основных операциях на множествах: (A ∗B )×C =(A ×C )∗(B ×C ),∗∈{∩,∪,∖}
10. Понятие высказывания. Элементарные и составные высказывания.
Высказывание - это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно (И-1) или ложно (Л-0), но не то и другое одновременно.
Например, «Сегодня идет дождь», «Иванов выполнил лабораторную работу №2 по физике».
Если у нас имеется несколько исходных высказываний, то из них при помощи логических союзов или частиц мы можем образовывать новые высказывания, истинностное значение которых зависит только от истинностных значений исходных высказываний и от конкретных союзов и частиц, которые участвуют в построении нового высказывания. Слова и выражения «и», «или», «не», «если... , то», «поэтому», «тогда и только тогда» являются примерами таких союзов. Исходные высказывания называются простыми , а построенные из них с помощью тех или иных логических союзов новые высказывания - составными . Разумеется, слово «простые» никак не связано с сутью или структурой исходных высказываний, которые сами могут быть весьма сложными. В данном контексте слово «простой» является синонимом слова «исход-ный». Важно то, что значения истинности простых высказываний предполагаются известными или заданными; в любом случае они никак не обсуждаются.
Хотя высказывание типа «Сегодня не четверг» не составлено из двух различных простых высказываний, для единообразия конструкции оно также рассматривается как составное, по-скольку его истинностное значение определяется истинностным значением другого высказыва-ния «Сегодня четверг»
Пример 2. Cледующие высказывания рассматриваются как составные:
Я читаю «Московский комсомолец» и я читаю «Коммерсант».
Если он сказал это, значит, это верно.
Солнце не является звездой.
Если будет солнечно и температура превысит 25 0 , я приеду поездом или автомобилем
Простые высказывания, входящие в составные, сами по себе могут быть совершенно произвольными. В частности, они сами могут быть составными. Описываемые ниже базисные типы составных высказываний определяются независимо от образующих их простых высказываний.
11. Операции над высказываниями.
1. Операция отрицания.
Отрицанием высказывания А (читается «не А », «неверно, что А »), которое истинно, когда А ложно и ложно, когда А – истинно.
Отрицающие друг друга высказывания А и называются противоположными.
2. Операция конъюнкции .
Конъюнкцией высказываний А и В называется высказывание, обозначаемое А В (читается «А и В »), истинные значения которого определяются в том и только том случае, когда оба высказывания А и В истинны.
Конъюнкцию высказываний называют логическим произведением и часто обозначают АВ.
Пусть дано высказывание А – «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С » и высказывание В – «в Витебске идет дождь». Тогда А В будет следующей: «в марте температура воздуха от 0 С до +7 С и в Витебске идет дождь». Данная конъюнкция будет истинной, если будут высказывания А и В истинными. Если же окажется, что температура была меньше 0 С или в Витебске не было дождя, то А В будет ложной.
3 . Операция дизъюнкции .
Дизъюнкцией высказываний А и В называется высказывание А В (А или В ), которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно и ложно – когда оба высказывания ложны.
Дизъюнкцию высказываний называют также логической суммой А+В.
Высказывание «4<5 или 4=5 » является истинным. Так как высказывание «4<5 » – истинное, а высказывание «4=5 » – ложное, то А В представляет собой истинное высказывание «4 5 ».
4 . Операция импликации .
Импликацией высказываний А и В называется высказывание А В («если А , то В », «из А следует В »), значение которого ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.
В импликации А В высказывание А называют основанием, или посылкой, а высказывание В – следствием, или заключением.
12. Таблицы истинности высказываний.
Таблица истинности - это таблица, устанавливающая соответствие между всеми возможными наборами логических переменных, входящих в логическую функцию и значениями функции.
Таблицы истинности применяются для:
Вычисления истинности сложных высказываний;
Установления эквивалентности высказываний;
Определения тавтологий.
«Моделирование 3-d наносхемотехники» - Разработана переходная схемотехника для 3-d СБИС. Уравнение синтеза. Пример проектирования ФИЭ. Настоящее и будущее схемотехники. Графовые модели интегральных элементов могут представлять собой деревья, а могут содержать и циклы. Уравнение синтеза RS-триггер в переходной схемотехнике. Прошлое и настоящее схемотехники.
«Технологии и методы обучения» - Структурирование содержательной части проекта (с указанием поэтапных результатов). Инновационные методы могут реализовываться как в традиционной, так и в дистанционной технологии обучения. Новая роль преподавателя. Инновационные методы и технологии обучения. Инновационные технологии - наборы методов и средств, поддерживающих этапы реализации нововведения.
«Моделирование ночной сорочки» - Модель №2. Кроссворд. Моделирование ночной сорочки. Модель №1. Моделирование Вырез горловины Обтачка Волан. Эскизы ночных сорочек. При моделировании изделия художнику необходимо учитывать: Презентация. Художник-модельер. Модель №6. Модель №3. Изменение деталей чертежа изделия в соответствии с выбранным фасоном называется моделированием.
«Проекты по моделированию» - В IPMA сегодня входят 34 страны, в том числе и Россия, которую представляет национальная ассоциация управления проектами СОВНЕТ. Уже в определении заложено многообразие, но все варианты содержат общую черту – проект предполагает определение цели. Моделирование в электронных таблицах. 10 класс. Графический редактор; 9 класс Проект «Моделирование паркета».
«Этапы моделирования» - IV этап Анализ результатов моделирования. 1этап постановка задачи. Цель моделирования. Информационная модель. Компьютерный эксперимент. Постановка задачи. Разработка модели. Моделирование и формализация. Этапы моделирования. Основные этапы моделирования. Описание задачи. Проведение эксперимента. III Этап Компьютерный эксперимент.
«Компьютерное информационное моделирование» - Компьютерная модель. Статические. Объектом моделирования может быть любой предмет или явление. Все информационные модели можно создавать с помощью компьютера. Модель атома созданная на компьютере. Физика – модели физических явлений. Графические рисунок диаграмма чертёж схема. Информационное моделирование в информатике.
Тема: Моделирование как метод познания системой Упрощенное представление реального объекта называется … моделью Варианты ответа: Задача: орининалом прототипом ВЫБЕРИТЕ ВАРИАНТ Решение: Модель – некоторый материальный или мысленно представляемый объект (явление, процесс), замещающий оригинальный объект (явление, процесс), сохраняя только некоторые важные его свойства, представляющий собой некое упрощенное представление реального объекта в процессе познания (созерцания, анализа и синтеза) или конструирования. Другими словами, модель – это объект (явление, процесс) в достаточной степени повторяющий свойства моделируемого объекта (явления, процесса), существенные для целей конкретного моделирования, и опускающий несущественные свойства, в которых модели могут отличаться от прототипа.
Варианты ответа: Задача: 1–B, 2–A, 3–D, 4–C 1–D, 2–A, 3–B, 4–C 1–B, 2–A, 3–C, 4–D 1–C, 2–A, 3–D, 4–B ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Моделирование как метод познания Решение: В задаче необходимо выполнить моделирование процесса движения автомобиля с целью выбора начальных параметров для преодоления расстояния между пунктами А и В за заданное время. Начальными параметрами служат моделируемые характеристики – начальная скорость и ускорение. Моделируемый процесс – движение тела, моделируемый объект – автомобиль, целью моделирования является выбор значений начальных параметров для преодоления расстояния за заданное время.
Определение целей моделирования – проведение исследования – построение математической модели – анализ результата Правильный порядок этапов математического моделирования процесса следующий: определение целей моделирования – построение математической модели – проведение исследования – анализ результата Варианты ответа: Задача: построение математической модели – определение целей моделирования – проведение исследования – анализ результата определение целей моделирования – построение математической модели – анализ результата – проведение исследовани ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Моделирование как метод познания Решение: Моделирование – это метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей. Моделирование можно представить следующими этапами: 1) постановка задачи, характеризуется тремя основными стадиями: описание задачи, определение целей моделирования и формализация задачи; 2) построение информационной или предметной модели; 3) натурный эксперимент, включающий две стадии: составление плана эксперимента и проведение исследования; 4) анализ результатов моделирования, в результате которого происходит принятие решения об окончании или продолжении исследования.
Степень соответствия модели тому реальному явлению (объекту, процессу), для описания которого она строится, называется ___________ модели. Варианты ответа: Задача: адекватностью устойчивостью гибкостью тождественностью ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Моделирование как метод познания Решение: В общем случае под адекватностью понимают степень соответствия модели тому реальному явлению или объекту, для описания которого она строится.
Модель есть замещение изучаемого объекта другим объектом, который отражает … Варианты ответа: Задача: существенные стороны данного объекта все стороны данного объекта всегда внешний вид объекта несущественные стороны данного объекта ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Моделирование как метод познания Решение: Модель – это некий новый объект, который отражает существенные особенности изучаемого объекта, явления или процесса.
Знаковой моделью является … Варианты ответа: Задача: круговая диаграмма анатомический муляж макет здания масштабная модель корабля ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Моделирование как метод познания Решение: Знаковые информационные модели строятся с использованием различных систем символов. Знаковая информационная модель может быть представлена в форме текста программы на языке программирования, формулы второго закона Ньютона, таблицы периодической системы элементов Д.И. Менделеева, средств деловой графики, к которым относится диаграмма.
Основанием классификации моделей на материальные и информационные является … Варианты ответа: Задача: способ представления область использования область знаний временной фактор ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Классификация и формы представления моделей Решение: В зависимости от поставленной задачи, способа создания модели и предметной области различают множество типов моделей. По способу представления модели классифицируют на информационные (нематериальные, абстрактные) и материальные.
Схема электрической цепи является _____________ информационной моделью. Варианты ответа: Задача: графической табличной иерархической словесной ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Классификация и формы представления моделей Решение: Для разных целей могут оказаться удобными различные формы модели. С точки зрения наглядности наиболее подходящей является графическая форма. Примерами графических информационных моделей могут служить: карта местности, чертеж, электрическая схема, график изменения температуры.
Понятия «вычисление» и «число» можно описать отношением … Варианты ответа: Задача: процесс – результат объект – субъект целое – часть общее – частное ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Методы и технологии моделирования моделей Решение: Процесс моделирования включает в себя три элемента: субъект (исследователь), объект исследования и модель, определяющую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Понятия «вычисление» и «число» находятся в отношении процесс – результат.
Наглядное средство представления состава и структуры системы называется … Варианты ответа: Задача: графом таблицей текстом формулой ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Методы и технологии моделирования моделей Решение: Важной характеристикой всякой системы является ее структура. Структура –это определенный порядок объединения элементов, составляющих систему. Наиболее удобным и наглядным способом представления структуры систем являются графы. Важная разновидность графов – деревья. Дерево – это графическое представление иерархической структуры системы. Обычно это системы, между элементами которых установлены отношения подчиненности или вхождения друг в друга: системы власти, административные системы, системы классификации в природе и др.
В отношении объект – модель находятся понятия … Варианты ответа: Задача: одежда – эскиз солнце – свет месяц – день устройство – телефон ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Методы и технологии моделирования моделей Решение: Процесс моделирования включает в себя три элемента: субъект (исследователь), объект исследования и модель, определяющую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. Понятия «одежда» и «эскиз» находятся в отношении объект – модель.
В отношении модель – субъект не находятся понятия … Варианты ответа: Задача: сценарий – фильм чертеж – конструктор эскиз – дизайнер конструкция – мастер ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Методы и технологии моделирования моделей Решение: Процесс моделирования включает в себя три элемента: субъект (исследователь), объект исследования и модель, определяющую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта. В отношении модель – субъект находятся понятия «чертеж» – «конструктор», «эскиз» – «дизайнер», «конструкция» – «мастер». Понятия «сценарий» – «фильм» находятся в отношении модель – модель (разные формы представления модели).
Письменное или устное представление информационной модели средствами разговорного языка называется _______________ моделью Варианты ответа: Задача: словесной простой текстовой логической ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Информационная модель объекта Решение: Словесная модель – это письменное или устное представление информационной модели средствами разговорного языка. С помощью словесной информационной модели описывают ситуации, события, процессы. Основой модели служит мысленная модель.
В таблице приведены расстояния между населенными пунктами: Варианты ответа: Задача: А–В–Б А–Г–Б А–В–Г–Б А–Г–В–Б ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Информационная модель объекта. Самым коротким путем из пункта А в пункт Б является … Решение: По таблице нужно построить схему:, из которой видно, что из пункта А в пункт Б можно проехать по 4 траекториям: 1) А–Г–Б (расстояние равно = 21); 2) А–В–Б (расстояние равно = 12); 3) А–В–Г–Б (расстояние равно = 17); 4) А–Г–В–Б (расстояние равно = 18). Очевидно, что самым коротким путем является А–В–Б.
В таблице приведены расстояния между населенными пунктами: Задача: ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Информационная модель объекта. Этой таблице соответствует схема …,. Решение: По таблице нужно построить схему, помещая рядом с линией дороги данные из ячейки на пересечении соответствующих строки и столбца (учитывая, что таблица симметрична относительно главной диагонали): Всего имеется 5 дорог.
Имеется схема расстояний между населенными пунктами: Задача: ВЫБЕРИТЕ ОТВЕТ Тема: Информационная модель объекта. Этой схеме соответствует таблица …,.. Решение: По приведенной схеме нужно построить таблицу, помещая расстояния на пересечения соответствующих строки и столбца (учитывая, что таблица симметрична относительно главной диагонали):. Всего имеется 4 дороги.
Вычисление значений к-рой может быть проведено с помощью заранее заданной эффективной процедуры, или алгоритма.
Характерная черта вычислительных процессов - вычисление искомых величин задач происходит последовательно из данных исходных величин по определенным, заранее заданным, правилам и инструкциям. На основании многочисленных примеров вычислительных процессов в математике оформилось интуитивное понятие вычислительной процедуры. В связи с общей программой обоснования математики в 20 в. возникла задача создания не интуитивного, а точного понятия алгоритма. Строгое определение В. ф., эффективных процедур и алгоритмов было дано в различных формах Д. Гильбертом (D. Hilbert), К. Гёделем (К. Godel), А. Чёрчем (A. Church), С. Клини (S. Kleene), Э. Постом (Е. Post), А. Тьюрингом (A. Turing) и А. А. Марковым.
Общая идея различных подходов к созданию строгих математич. определений рассматриваемых понятий такова: проводится детальный анализ уже известных или мыслимых вычислительных процессов, выявляются существенные особенности этих процессов, находятся подходящие математич. аналоги этих процессов и их особенностей.
Реализация различных аспектов этой идеи неоднозначна и приводит к разным вариантам мате-матич. понятия алгоритма. Основными математич. моделями понятия алгоритма являются машины Тьюринга, частично рекурсивные функции, нормальные алгоритмы Маркова и др.
Машины Тьюринга. Алгоритмы, применяемые в математике, напоминают машину, работающую отдельными тактами и выдающую ответ через конечное тактов. А. Тьюринг и Э. Пост описали понятия вычислительных машин абстрактных,
на к-рых можно моделировать вычислительные процессы. Машина Тьюринга (иногда говорят Тьюринга - Поста) Мсостоит из:
конечного алфавита где произвольные символы; конечные упорядоченные последовательности символов алфавита наз.
словами в алфавите ; с помощью слов в алфавите кодируются исходные данные задачи, промежуточные вычисления и получаемые ответы;
конечного списка элементарных состояний, в к-рых машина Мможет находиться; при этом считается начальным состоянием, в к-ром находится М, когда начинает работу, а - конечным состоянием: если Мприходит в состояние
, то она останавливает свою работу;
программы, составленной из отдельных команд , имеющих один из видов: 
где - один из символов движения Л, П или С.
Конфигурация машины Мв данный времени кодируется словом вида где Аи В -
нек-рые слова в алфавите (вместо пустого слова Апишут а 0). Конфигурация машины Мв следующий момент времени (после выполнения одного такта работы) также кодируется словом, к-рое зависит от команды:
если D = Л, то получается слово
если D=С, то получается слово
если D = П и В = a р В",
то получается слово 
если D = П и В -
пустое слово, то получается слово Aa k a
0 q l B.
Работа машины Мможет быть описана следующим образом: кодируют исходные данные с помощью нек-рой начальной конфигурации (здесь ); согласно программе машины Мполучают следующую конфигурацию и т. д., если в какой-либо момент получают конфигурацию, содержащую конечное состояние , то прекращают работу; заключительная декодируется в ответ; если машина никогда не останавливается, то считают ответ в задаче неопределенным.
Всякая вычислительная , к-рая может быть сведена к работе подходящей машины Тьюринга, является эффективной в интуитивном смысле. Обращение предыдущего высказывания получило название т е-з и с а Тьюринга: всякая эффективная вычислительная процедура может быть реализована на соответствующей машине М.
Этот тезис нельзя доказать, так как он объединяет два понятия - строгое математич. понятие машины Тьюринга и расплывчатое, интуитивное понятие эффективной процедуры. Если моделировать на машинах Тьюринга вычисление значений функции, области определения и значений к-рой суть множества натуральных чисел, то приходят к понятию вычислимой (на машинах Тьюринга) функции. См. также Тьюринга машина.
Частично рекурсивные функции. Все известные примеры алгоритмов можно свести к вопросу вычисления значений подходящей функции. Считая эту черту алгоритмов основной, А. Чёрч, К. Гёдель и С. Клини выделили широкий функций, названных частично рекурсивными. Пусть F -
класс частичных функций, области определения и значения к-рых суть множества натуральных чисел. На множестве Fопределяют следующие операции:
суперпозиция функций: если 
то говорят, что функция
получается из с помощью суперпозиции; m-оператор: пусть говорят, что функция получается из и с помощью 
, и записывают
если и определены п неравны между собой при , а
Ясно, что если эти операции применяются к функциям, значение к-рых мы умеем вычислять, то имеются алгоритмы, вычисляющие значения функций и Следующие функции считаются простейшими: и
Имеются легкие алгоритмы, вычисляющие значения простейших функций.
Функция f наз. частично рекурсивной, если она за конечное число шагов может быть получена из простейших с помощью суперпозиции и -оператора. Всюду определенная наз. общерекурсивной. Значение всякой частично рекурсивной функции может быть вычислено эффективно в интуитивном смысле. Обращение этого высказывания. получило название тезиса Чёрча: всякая функция, значение к-рой может вычисляться эффективно, является частично рекурсивной. Таким образом, согласно тезису Чёрча, вычислимыми функциями являются частично рекурсивные функции.
Нормальные алгорифмы Маркова. Всякий конкретный имеет дело с нек-рым алфавитом, и конкретной задачи сводится к переработке слов данного алфавита по нек-рым заранее заданным правилам. Такой подход к теории алгоритмов развит А. А. Марковым, предложившим концепцию нормального алгорифма в качестве математич. модели понятия вычислительной процедуры.
Нормальный алгорифм j состоит из нек-рого алфавита и конечного упорядоченного списка правил вида , где - нек-рые слова в алфавите . Часть правил выделена и названа заключительными. Правило применяется к слову Рследующим образом: слово Рпредставляется в виде , где и - слова в алфавите , возможно пустые, и из всех таких представлений выбирается то, в к-ром слово Qимеет наименьшую длину; тогда результатом применения данного правила к слову Рназ. слово QBR.
Нормальный алгорифм применяется к слову Рследующим образом: применяют к слову Рпервое правило из тех, к-рые к Рможно применить, получают слово ; применяют к первое правило из тех, к-рые к можно применить, получают слово и т. д. В результате получается слов, к-рая обрывается после применения какого-либо заключительного правила.
Кодируя соответствующим образом информацию, можно использовать нормальные алгорифмы для решения разнообразных алгоритмич. задач. Всякая вычислительная процедура, промоделированная с помощью нормального алгорифма, является эффективной в интуитивном смысле.
Обращение этого высказывания носит название тезиса Маркова: всякая эффективная вычислительная процедура может быть промоделирована с помощью подходящего нормального алгорифма. Если моделировать с помощью нормальных алгорифмов вычисление значений функций из класса F,
то приходят к еще одному понятию вычислимой функции. Были предложены и другие уточнения понятия алгоритмов (см. Алгоритм,
а также Нормальный алгорифм
).
Доказан следующий результат о равносильности различных концепций понятия алгоритма: классы функций, вычислимых на машинах Тьюринга, частично рекурсивных функций, вычислимых с помощью нормальных алгорифмов Маркова (аналогичные классы функций при других концепциях понятия алгоритма), совпадают. По мнению большинства современных математиков, этот класс функций адекватен классу интуитивно В. ф. и отождествляется с ним. Такое 1 отождествление позволяет придать математичность алгоритмическим проблемам.
Лит.
: Мальцев А. И., Алгоритмы и рекурсивные функции, М., 1965; Роджерс X., Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость, пер. с англ., М., 1972; Тuring A. M., "Ргос. London Math. Soc.", 1937, v. 42, № 2, p. 230-65; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957; Марков А. А., Теория алгорифмов, М., 1954 ("Тр. матем. ин-та АН СССР", т. 42).
И. А. Лавров, А. Д. Тайманов.
Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .
Смотреть что такое "ВЫЧИСЛИМАЯ ФУНКЦИЯ" в других словарях:
Одно из основных понятий теории алгоритмов. См. Алгоритм. Философская Энциклопедия. В 5 х т. М.: Советская энциклопедия. Под редакцией Ф. В. Константинова. 1960 1970 … Философская энциклопедия
вычислимая функция - — Тематики защита информации EN computable function … Справочник технического переводчика
Одно из основных понятий теории алгоритмов. Функция f называется вычислимой, если существует Алгоритм, перерабатывающий всякий объект х, для которого определена функция f, в объект f (x) и не применимый ни к какому x, для которого f не… … Большая советская энциклопедия
Вычислимые функции это множество функций вида, которые могут быть реализованы на машине Тьюринга. Задачу вычисления функции называют алгоритмически разрешимой или алгоритмически неразрешимой, в зависимости от того, возможно ли написать… … Википедия
Ч а с т и ч н о р е к у р с и в н а я ф у н к ц и я, одно из математич. уточнений интуитивного понятия вычислимой функции, определяемое следующим образом. Рассматриваются функции, заданные на натуральных числах и с натуральными значениями.… … Математическая энциклопедия
В данной статье будет доказан теорема о существовании перечислимого, но неразрешимого множества. Напомню, что по теореме Поста перечислимое множества разрешимо тогда и только тогда, когда его дополнение перечислимо.Основные определения, такие как … Википедия